Calcolo delle probabilità - Il gioco dei tre bicchieri

rubrica: 

 

 

 

… quando la realtà matematica  che ci circonda è molto meno banale di quanto sembri …

Abbiamo visto, nei precedenti articoli, specialmente in quelli di Caranti dedicati ai giochi d’azzardo, dal NIM al Lotto, passando per il Chuck a Luck, quanto la matematica dietro a simili giochi sia complessa, e per certi versi diabolica nei confronti del giocatore.

Quest’ oggi vi voglio presentare un giochino molto più elementare, che penso sia familiare un po’ a tutti, in particolare durante il periodo delle vacanza estive, essendo frequentemente praticato da improvvisati “banchi” sui  lungomare della riviera.

Si tratta del “gioco dei tre bicchieri” : il banco mostra tre bicchieri al giocatore (o altri contenitori, ad esempio i gusci di noce della foto), sotto uno dei quali si nasconde una pallina, diversamente dagli altri due sotto i quali non c’è nulla. Il giocatore  deve indovinare sotto quale dei tre si nasconda la pallina; a questo punto il banco scopre uno dei due bicchieri vuoti, ed invita il giocatore a confermare la propria scelta oppure a modificarla. A questo punto il giocatore deve decidere cosa conviene fare, e per farlo deve saper rispondere a due domande:

1)     Conviene confermare la scelta del bicchiere iniziale, oppure modificarla, oppure è indifferente ?

2)     Qual è nei due casi la probabilità di trovare la pallina?

  Il gioco sembra di una tale elementarità che più elementare non si può, ma in realtà contiene diversi livelli di difficoltà logica.

Il primo, superato presumibilmente da chiunque, consiste nel capire che all’inizio la probabilità di trovare la pallina è pari a 1/3, e per questo non c’è bisogno di grandi capacità matematiche, basta un briciolo di buon senso!

Supera invece il secondo livello chi riesce a capire che non si può rispondere alla prima domanda se non si sa rispondere alla seconda: chi modifichi la propria giocata iniziale in base ad una scelta di puro istinto, non supportata dalla conoscenza delle probabilità, e casualmente trovi la pallina, avrà solo avuto fortuna, o meglio, il suo intuito gli ha fatto capire che conveniva cambiare, ma senza sapere il perché.

Infine, supera il terzo livello chi sa dare entrambe le risposte corrette.

Verrebbe spontaneo, in seguito ad una analisi superficiale del problema, credere che sia indifferente confermare il bicchiere scelto all’ inizio oppure cambiarlo, in quanto, dopo che uno dei due bicchieri vuoti è stato scoperchiato dal banco, la probabilità di trovare la pallina sia pari al 50% per ciascuno dei due bicchieri rimasti sul tavolo.

In realtà non è così. Il banco, scoperchiando un bicchiere, ci dice qualcosina in più del semplice fatto che la pallina non è lì, e a fare la differenza è il riuscire a impossessarsi di questa informazione aggiuntiva ed utilizzarla al meglio: il più delle volte il giocatore non ci riesce ed il banco riesce a farla franca.

Provate voi per esercizio a trovare la soluzione: se dopo esservi spremuti per un pò non ci siete riusciti e vi arrendete, oppure ci siete riusciti e volete la conferma, cliccate il link sottostante.

Per conoscere la soluzione, clicca qui!