Fuori programma: la Lemniscata

rubrica: 

Nel mio ultimo intervento proposto, ho temporaneamente "abbandonato" l'ambito finanziario per dedicarmi ad un argomento che potremmo definire di "curiosità matematica": la brachistocrona.

Come forse vi ricorderete, essa altro non è che il ramo di una particolare curva, chiamata cicloide, che risponde al seguente quesito: "Determinare la linea curva che connette due dati punti posti a diverse  distanze dall'orizzonte e non sulla stessa retta verticale, sulla quale [linea curva] un mobile iniziando a muoversi dal punto più alto, per la forza di gravità, discenda al punto più basso il più presto possibile".
Il problema fu posto dal matematico svizzero Johan Bernoulli che, per chi non lo sapesse, faceva parte di una famiglia molto prolifica dal punto di vista scientifico.
Il fratello maggiore di quest'ultimo infatti, Jakob, è il primo, in ordine temporale, di una serie di Bernoulli (tra cui il sopra citato Johan e il nipote Daniel, solo per citarne un paio) che hanno notevolmente contribuito all'evoluzione di diversi rami della matematica, della probabilità e della fisica.
Tra i lavori svolti da Jakob Bernoulli vi è anche la formalizzazione di una particolare curva chiamata lemniscata presentata nel 1694 all'interno del giornale scientifico tedesco Acta Eruditorum.
 
Vi chiederete quale particolarità deve avere una tale curva per diventare oggetto di un approfondimento sul sito di Caranti.
Per rispondervi parto dalla conclusione della trattazione, ossia dal grafico di questa funzione dal nome più simile ad uno scioglilingua che ad una curva analitica:
 

Non vi ricorda proprio nulla? Coloro i quali nei loro studi si sono imbattuti, anche solo di sfuggita, nel ramo della matematica chiamato "analisi", riconosceranno in esso il tanto utilizzato simbolo di infinito!
Avete presente quando in uno studio di funzione si chiede di calcolarne l'andamento agli estremi del campo di esistenza e questo significa calcolare i limiti della funzione F(x) a +/- infinito (qualora essa sia definita su tutto l'asse reale)? Bene, la nomenclatura con la quale si esprime questa richiesta altro non è che la seguente:

lim per x da +/- infinito di F(x)

 Non nego che, una volta "scoperta" questa particolarità, la lemniscata ha attratto la mia attenzione e suscitato in me curiosità.
Vediamo dunque cosa rappresenta questa funzione e da dove trae origine: il nome alla curva fu dato dallo stesso Bernoulli e la sua etimologia deriva dal vocabolo latino lemniscus che nell'antica Roma rappresentava una sorta di nastro ornamentale per le corone.
Sebbene approfondita e formalizzata da Bernoulli, matematicamente parlando essa consiste in un caso particolare degli ovali di Cassini, ossia l'insieme dei punti per i quali il prodotto tra la distanza da due punti, chiamati fuochi, è costante.
Ricavarla in modo analitico è abbastanza semplice: prendiamo un sistema di assi cartesiano al cui asse delle ascisse appartengono i due fuochi F1 e F2 equidistanti a dall'origine O e disegniamo nel piano xy un generico punto P di coordinate (x,y) come in figura:

 
Dalla definizione appena fornita deriva che  dove c risulta appunto essere una costante.
Con un po’ di semplice geometria euclidea e col teorema di Pitagora si ottiene la seguente equazione:

nella quale ponendo per semplicità di calcolo a=1 diviene:

Il grafico che segue rappresenta l'andamento dell'equazione appena esposta al variare del parametro costante c.
Si osserva come per c<1 (ossia il rapporto a/c>1) si ottengono due "anelli" separati, per c >1 (ossia il rapporto a/c<1) si ricava una singola curva e SOLO per c=1 (ossia per c=a, cioè quando la costante è esattamente uguale alla distanza tra i fuochi e l'origine) si ottiene proprio una lemniscata, unica curva tracciata in blu nel grafico.

Sostanzialmente essa rappresenta una variazione della metodologia di costruzione dell'ellisse che è l'insieme dei punti per cui la somma della distanza tra i due fuochi è costante: se alla "somma delle distanza" si sostituisce "il prodotto della distanza" e imponiamo che tale costante sia precisamente uguale alla distanza dei fuochi dall'origine (c=a) otteniamo esattamente una lemniscata.
 
Tuttavia è per me risultata una nota di tristezza apprendere che la lemniscata non c'entri proprio nulla col simbolo dell'infinito.
Quest'ultimo, che fu introdotto dal matematico inglese John Wallis in data precedente la pubblicazione del Bernoulli sulla lemniscata (1655), sembra difatti derivare dalla lettera "m" della scrittura onciale (tipologia di grafia utilizzata in epoca romana) che rappresentava sia il numero 1000 sia il concetto di numero "infinitamente grande".
Come si può notare dall'immagine che segue, la lettera "m", in questa tipologia di scrittura, richiama infatti il simbolo dell'infinito:

Naturalmente un discorso a parte meriterebbe la consapevolezza da parte dell'uomo del concetto di infinito, cosa che trascende il simbolo col quale esso viene rappresentato graficamente.
L'intuizione più o meno consapevole dell'infinito, inteso come un "qualcosa" di senza limite e sconfinato, è presumibilmente presente da sempre nella mente dell'uomo che, da secoli, è alla ricerca di una sua "comprensione" nei diversi ambiti in cui esso si può "manifestare":
 
•        infinito matematico,
•        infinito teologico,
•        infinito astronomico,
•        infinito psicologico,
•        (...)
 
Per quanto argomento estremamente interessante ed affascinante, tutto ciò va però ben oltre gli scopi di questo mio breve intervento e vorrei quindi concludere questo mio contributo lasciando spazio ad uno dei più grandi poeti italiani che forse, meglio di chiunque altro, è riuscito a descrivere nero su bianco proprio "L'Infinito":
 
"Sempre caro mi fu quest'ermo colle,
e questa siepe, che da tanta parte
dell'ultimo orizzonte il guardo esclude.
Ma sedendo e mirando, interminati
spazi di là da quella, e sovrumani
silenzi, e profondissima quiete
io nel pensier mi fingo, ove per poco
il cor non si spaura. E come il vento
odo stormir tra queste piante, io quello
infinito silenzio a questa voce
vo comparando: e mi sovvien l'eterno,
e le morte stagioni, e la presente
e viva, e il suon di lei. Così tra questa
immensità s'annega il pensier mio:
e il naufragar m'è dolce in questo mare."
(Giacomo Leopardi)
 
Claudio Barberi