La Topologia di Eulero

rubrica: 

 

 

 

… può una figura bucata rispondere alla caratteristica di Eulero? …

La volta scorsa ci siamo lasciati con la relazione che intercorre tra i cosiddetti Solidi Platonici.
Tanto per riprendere il filo del discorso, va detto che sarà il matematico svizzero Eulero a risolvere l’enigma di Platone in merito al rapporto tra i vertici, gli spigoli e le facce di uncubo,o più in generale di un qualsiasi poliedro.
Eulero scoprela relazione:  V – S + F = 2 cioè che “i Vertici meno gli Spigoli più le Facce totalizzano sempre il numero 2”.
A riprova, poiché il cubo ha 8 vertici, 12 spigoli e 6 facce, si ottiene facilmente: 8-12+6= 2.
c.v.d. : <come volevasi dimostrare> avrebbe detto il caro professor Viglino nelle aule di matematica Pincherle di UNIBO.
Volendo fare un passo avanti, c’è da dire che la “caratteristica” di Eulero si può applicare ed estendere a una branca della matematica un po’ più innovativa, cioè alla matematica “moderna” ma prima di procedere va detto che la “magia del risultato uguale a 2” della formula vale solamente per i poliedri a portata di mano, cioè per tutti i poliedri “senza buchi”.
 
Difficile? Ma no, dai!
Vediamo:
 
  • Il cubo non presenta BUCHI
  • Il tetraedro nemmeno
 
… ma che dire di questa strana figura?
 
 
Stiamo guardando un TORO, che altro non è se non una comune ciambella o anche una semplice camera d’aria da bicicletta.
Diversamente da un cubo (che è senza buchi) , il toro presenta un buco al centro e pare proprio che, in questo caso, la caratteristica di Eulero possa anche andare a farsi benedire.
 
Un’altra figura geometrica CON BUCHI è l’arcinoto Nastro di Moebius, arcinoto poiché l’ho scelto come logo ufficiale del Sito:
 
 
Analogamente al Toro, anche nel Nastro di Moebius c’è UN buco al centro (notare il numero dei buchi comune alle due figure geometriche: UN Buco e uno soltanto).
Volendo procedere, però, esistono altre composizioni con un numero di BUCHI superiore.
Che ne dite di questa strana forma?
 
 
Questa specie di “ 8 ” si definisce “Superficie orientabile di genere 2” … ma volendo procedere c’è anche questa “Superficie orientabile di genere 3” che personalmente mi èvoca una simbologia vagamente lunare.
 
 
Ecco come, oltre alle familiari figure geometriche senza buchi, ne esistono molte altre con:
 
·         1 buco         (Toro e Nastro di Moebius)
·         2 buchi        (Superficie orientabile di genere 2)
·         3 buchi        (Superficie orientabile di genere 3)
 
A questo punto, la domanda che ci poniamo è se la caratteristica di Eulero si può estendere, o no, anche alle figure geometriche CON BUCHI.
 
A ben pensarci, questa domanda è un po’ sibillina poiché mentre i tre parametri della formula di Eulero (Vertici, Spigoli e Facce) sono perfettamente a portata di mano per i Solidi classici, al contrario non lo sono affatto per i Solidi appena menzionati.
Tanto per spiegarmi: mentre in un cubo è facile capire cosa sia un Vertice, in un Nastro di Moebius vi sfido a “pizzicarsi un dito nel toccarlo” poiché a quanto sembra, nel Nastro,  di Vertici non ne esiste neanche uno.
Analogamente, è lecito chiedersi come si possa fare a “passare le dita” su uno Spigolo dello stesso Nastro di Moebius, quando questo è tutto rotondeggiante, nel senso di assolutamente “non spigoloso”.
Ecco allora che la chiave del ragionamento sta in un elemento nuovo di cui ancora non abbiamo parlato ma senza il quale tutto l’impianto di Eulero non regge.
Secondo questa teoria, le superfici <per quanto “rotondeggianti”> possono sempre essere rappresentate in forma poliedrica. Per estensione, per esempio, un cubo può essere considerato come una rappresentazione poliedriche della sfera.
Strano, vero?
E non facile, ve lo confermo, ammesso che non si vogliano accettare le regole fondamentali della scienza che studia queste particolarità, ovvero la cosiddetta topologia.
Detto in parole povere, il valore aggiunto da Eulero alla geometria sta nel fatto di poter calcolare una superficie qualsiasi tramite una suddivisione in poligoni (cioè come insieme di celle) riconducendo così ancora il discorso a un numero chiuso di vertici, spigoli e facce.
Che forza !!!
Vi aspetto per la prossima puntata, sempre su questo tema.
 
Francesco Caranti