La volta scorsa abbiamo detto che a fronte di un esperimento di osservazioni di coppie di valori campione (il tempo e la velocità di una biglia) è possibile tracciare una retta che rappresenta la soluzione ‘approssimata migliore’.

Poiché qualsiasi retta del piano è rappresentata sempre da una equazione del tipo Y=AX+B, il compito di oggi sarà quello di calcolare A e B tramite il metodo scoperto da Gauss / Laplace a fine 700.
Diversamente dalle notazioni standard di matematica in cui X e Y sono le incognite, in questo caso X e Y sono solo coppie di valori campione mentre le nostre incognite saranno A e B.
Mi trovo così a risolvere Y=AX+B  che presenta due incognite (A e B) e non una soltanto.
Come è possibile? In geometria analitica non ci si riesce, a meno che non si abbiano altre informazioni in più.
Esatto: non basta una sola informazioni, ne servono 2. Con 2 informazioni (ovviamente diverse) vedrete che ce la faremo.
Pare dunque che con 2 equazioni (di primo grado) messe a ‘Sistema’ si possa trovare la quadra.
Per nostra fortuna, a risolvere la questione ci ha già pensato Gauss con il suo Sistema (ove per Sistema si intende una coppia di equazioni) dei Minimi Quadrati.
 
Calma: partiamo dalla tabella dei casi della volta scorsa:

Poi, a destra, attacchiamo due colonne grigie nuove di zecca:

Nella prima (molt), abbiamo moltiplicato X per Y, nella seconda (pot) abbiamo messo le potenze di X.
 
A questo punto creiamo una riga di totali in cui ho evidenziato alcune celle con colori diversi.

Ecco fatto:

Vediamo i singoli colori:
 
Verde (8) è il numero delle prove
Azzurro (20) è la somma dei punti X di rilevazione dell’esperimento (il tempo nell’esempio)
Arancio (37) è la somma dei punti Y di rilevazione dell’esperimento (la velocità nell’esempio)
Blu (25) è la somma delle moltiplicazioni dei vari X e Y
Rosso (92) è la somma delle potenze di X
 
Ora Gauss afferma:

Per risolvere il Sistema e trovare A e B sono possibili due strade:

1. Metodo di Cramer http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_Cramer
2. Metodo di Sostituzione

Scegliamo la seconda, un po’ più lunga ma più comprensibile:

Il ‘trucco’ <per così dire> sta nella partenza, cioè di ricavare A da ciascuna delle 2 equazioni (Rossa e Verde) e di porle uguali.
Con un po’ di calcoli otteniamo finalmente la soluzione: y = -1,6071 X + 8,6428
Bene!
Noi siamo arrivati fin qui con la teoria, vediamo se i risultati di Excel coincidono.
Per farlo, proviamo a interpolare X tra due valori qualsiasi, per esempio tra 6 e 7.
 
Cerchiamo dunque il corrispondente Y nella retta di regressione lineare del punto X = 6,3.
Sostituiamo così:
Y=(-1,6071*6,3)+8,6428 = -1,48
Anche Excel ci deve restituire -1,48.
Vediamo:

Perfetto !   Bravo Excel !  Risultati perfettamente coincidenti !
La funzione Excel di questo foglio è:   =PREVISIONE(6,3;E63:E70;D63:D70)
 
Nota:
La sintassi di questa funzione è: PREVISIONE(x;y_nota;x_nota)
Attenzione a non scambiare l’ordine di y_nota con x_nota  … prima sempre le Y !!!

Per oggi abbiamo finito.
Abbiamo capito cosa si intende per regressione lineare, interpolazione ed estrapolazione.
Attenzione però: non montiamoci subito la testa! Sì, perché qualcuno potrebbe osservare: che bello! Abbiamo trovato la formula magica della felicita !!! Evviva !!!
Eh già!   Se faccio divorare alla funzione PREVISIONE di Excel l’intero FTSEMIB sono a posto per sempre perché sarà Excel a dirmi come andrà la Borsa domattina!
Eh no, piano Signori!
E sapete perché?
Ma semplicemente perché una delle nostre premesse era la parola ‘lineare’ , cioè ‘assimilabile a una linea’ . E sennò perché si chiamerebbe Regressione LINEARE?
Ecco allora che se faccio divorare a “PREVISIONE” l’excel del FTSEMIB commetto uno sbaglio clamoroso, perché l’andamento della Borsa non è lineare affatto. Magari fosse! La Borsa va a zig-zag, è una random walk, come si suol dire.
E allora che si fa?  Delusione totale?
 
No, tranquilli, faremo una piccola variante, il trucco c’è ma non si vede.
Curiosi?  Peccato, dovete aspettare il prossimo contributo .
Vi lascio in meditazione.
 
Francesco Caranti