Opzioni di Borsa in laboratorio – 33 – Angolo e pendenza della Regressione Lineare in Excel

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La biglia, il lago inquinato di Topolinia e il decorso della via ferrarese ci hanno aiutati a individuare quella via maestra che meglio rappresenta il trend di un gruppo di osservazioni sperimentali.
La via maestra è l’interpolante: magari <dico io> conoscessimo quella della Borsa!

O meglio, la si può anche individuare ma ancora una volta si presenta il problema della coperta corta più volte discusso.
Mi spiego meglio: per andare da Bologna a Ferrara con la vecchia strada, a suon di curve e di sterzate, si passa per Cà de’ Fabbri, Lovoleto, Minerbio e Malalbergo mentre l’autostrada che le corre parallela (ecco l’interpolante) fa: Bentivoglio, Interporto, Altedo per poi arrivare sparata a Ferrara sud.
Se ora prendiamo la carta dell’Emilia, vediamo che l’autostrada ha un’inclinazione media di 73° nord mentre la vecchia ferrarese oscilla alternativamente tra 60° a 84° proprio perché ‘si disperde’ continuamente a zig zag.
Il nesso dovrebbe essere chiaro: ammesso che l’autostrada sia il trend di Borsa dominante e che quindi io sia entrato long su una call, nella vita reale la Borsa ‘è purtroppo una Ferrarese’ e poco mi importa ‘at now’ che quell’autostrada arrivi davvero a Ferrara perché quando a Malalbergo la strada rientra a nord-est, sai la mia povera call quanto si è deprezzata?
Si parla tanto di ‘cavalcare il trend’ ma oggi le sterzate sono più che mai all’ordine del giorno.
Bando allo sconforto, il concetto fin qui visto della Regressione Lineare è a dir poco eccellente perché, volere o volare, a Ferrara ci si arriva di sicuro: quel che importa è ‘capire quale sia la mezzeria dell’Indice’ perché a quel punto qualche Deviazione Standard di Chebyshev, o piuttosto una Linea Verde prima o poi mi verranno incontro per piazzare al meglio i miei ordini a mercato.
Nel contributo 20 abbiamo fatto un passo molto importante: riprendo il testo di allora: “…ci siamo accorti che la regressione lineare non si può applicare a qualsiasi processo statistico ma solo a quelli che rispondono alla ‘linearità’, attributo, quest’ultimo, che non fa certo parte della Borsa che per sua natura è un moto browniano. Sconfortati da queste osservazioni, ci siamo lasciati, affermando però che esiste una soluzione di conciliazione che permette di rendere ‘lineare’ ciò che lineare non è. Il concetto è quello dell’astrazione per punti e vediamo subito di cosa si tratta. Se facciamo un passo indietro e ripensiamo a ciò che è più facile da comprendere <le medie mobili semplici> ci accorgiamo che nonostante l’altalena browniana delle Borse, il metodo di “scartare ogni giorno all’indietro in modo FIFO” ha un certo significato. Se dunque applichiamo il metodo FIFO delle medie mobili anche alla nostra regressione lineare, potremo - per così dire - ‘trasformare un processo non lineare in un processo lineare …”.
 
Dunque il FIFO applicato alla regressione lineare supera, per così dire, il problema della linearità/non linearità: ottimo!
Ma torniamo ancora un attimo all’inclinazione della Ferrarese: abbiamo parlato di 60° e di 84°.
Che cosa sono questi gradi?
Ma certo! Sono gli angoli della nostra trendline di Borsa.
A questo punto dobbiamo tornare a quanto dicevamo sulla regressione lineare, che in quanto ‘retta’ ha la sua brava equazione del tipo y=a+bx sulla quale abbiamo lavorato parecchio la volta scorsa per spiegare la soluzione dei minimi quadrati.
Ricordate questo copia-incolla?

La Linear Regression Trendline al 19 gennaio 2012 (con dominio 14) era 15201,83 e si otteneva così:
“a” (15019,74) + “b” (13,0066) moltiplicato “X” (14 osservazioni) = 15201,83
Ma, visto che stavamo parlando di geografia e di inclinazioni in gradi, la nostra ‘pendenza b’ che cosa è realmente?
Non mi pare che siano gradi! E’ solo un numero, qui di gradi non si vede neanche l’ombra. Già: il coefficiente angolare in geometria non è un valore espresso in ‘angolo’ ma rappresenta la ‘tangente tra la retta e l’asse X’.
Tanto per stemperare un po’ l’argomento che rischia di diventare pesante, vediamo i casi trigonometrici più facili:
 

Ho scelto i tre esempi più semplici possibile: tre rette inclinate di 45, 30 e 60° sull’asse X.
Ho inoltre imposto che l’ ordinata all’origine <che si chiama anche intercetta> sia sempre a zero, cioè ho posto a=0.
E questo lo si capisce bene: se guardate con attenzione i tre diagrammi, vedrete che le tre rette partono tutte dall’origine 0,0  (magari il disegno non è perfetto, ma il concetto è questo.
Per ogni caso A) B) e C) ho calcolato l’equivalente tra l’angolo e il coefficiente angolare (pendenza).

  • nel primo caso in azzurro, l’angolo è 45° e la pendenza è 1
  • nel secondo caso in verde, l’angolo è 30° e la pendenza è 0,57735
  • nel primo caso in viola, l’angolo è 60° e la pendenza è 1,73205 

Come al solito è Excel ad aiutarci in merito alla conversione: gradi/pendenza e viceversa pendenza/gradi.
Le funzioni sono:

  • =GRADI(ARCTAN(pendenza))         per trovare l’angolo partendo dalla pendenza
  • =TAN(RADIANTI(angolo))              per trovare la pendenza partendo dall’angolo 

Vi lascio il foglio Excel se vorrete fare qualche prova.
 
Quello che si può subito notare è che l’angolo cresce proporzionalmente alla pendenza, e questo è intuitivo ma in matematica è sempre bene far notare le cose.
E ciò che può veramente stupire è il valore altissimo della pendenza del nostro caso reale: il 19 gennaio la retta di regressione aveva una pendenza di 13,0066, un valore enorme se lo mettiamo a confronto con quello più alto del nostro esempio (1,73205 per 60°).
Curiosi come sempre, calcoliamo subito l’angolo della regressione lineare al 19 gennaio:
applicando: =GRADI(ARCTAN(13,0066)) otteniamo un angolo di circa 86°.
 
Ci rivediamo presto; per il momento vi lascio l’excel dell’esercitazione di oggi.
La prossima volta proseguiremo a legare fra loro le varie funzioni … PREVISIONE, TENDENZA, PENDENZA … in uno stesso foglio.
 
Per dubbi, domande e quant’altro io resto sempre qua.
 
Vi attendo su www.francescocaranti.net
 
Francesco Caranti