Opzioni MIBO - Strutture complesse di Opzioni: impatto dello Smile nella Volatilità Implicita

rubrica: 

Prima di dedicarci alla lettura di un contributo importante come quello del nostro fisico Claudio Barberi mi sembrano opportune un paio di righe di premessa, giusto per rasserenare gli animi e creare l’ambiente più consono all’interpretazione.

Inizio dicendo che Claudio è un esperto di pricing, cioè di quella disciplina che elabora il valore di uno strumento di Borsa derivato al variare del prezzo a cui si riferisce (sottostante), al passare del tempo e della volatilità che, come ormai ben sapete, altro non è che la velocità, l’impeto, la veemenza espressa al derivato al variare della velocità del sottostante.

Dopo questa breve premessa, si potrebbe obiettare che il pricing è materia di market makers e di ingegneria derivata nel senso che poi, alla fine, il prezzo corrente di un’opzione lo fa il mercato oppure che, se non altro, deve essere accettato in quanto tale così come appare sul book delle piattaforme.

E’  vero: avete ragione!  Guai a non accettare il pricing dei derivati così come la sapiente equazione di Black Scholes Merton <oltre ad ulteriori indizi> ce la spiattella sul video.

Il problema è un altro: come comportarsi quando si ha a che fare con le strutture combinate di opzioni (cioè più opzioni contemporaneamente)?    

Già! Se è vero che ciascuna opzione in un momento qualsiasi ha un proprio prezzo, sintesi di innumerevoli variabili, la domanda che ci si pone è quale possa essere il PRICING COMPLESSIVO visto che ciascun componente della struttura ha un proprio decorso e una propria vita autonoma?

Esatto: Claudio si pone il problema e indaga attraverso gli strumenti che ha a disposizione: intelligenza, intuito e software evoluti.

Io mi fermo qui per lasciarvi a uno studio sensazionale.

Personalmente ne sono rimasto abbagliato e mi è venuto da pensare <e di elogiare in cuor mio> l’impegno dell’ingegneria finanziaria rispetto a quanto, molto più semplicemente, avrebbero fatto un tempo per prezzare un cavallo, un bue o un asino al mercato del venerdì di qualche paesino della bassa padana.

Francesco Caranti

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Recentemente ho avuto un fitto scambio di mail con Caranti per illustrargli ed avere una sua opinione in merito al simulatore di pay off di un portafoglio sintetico di opzioni che ho realizzato e che ho avuto modo di presentarvi nei miei precedenti interventi.

Da questa intensa corrispondenza, su suggerimento dello stesso Francesco, è nato questo articolo.

Non nego però una certa mia perplessità iniziale: l’argomento trattato è così specifico che non avevo ben chiaro come avrei potuto presentarlo senza farlo risultare una “cattedrale nel deserto” di scarsa utilità per voi lettori.

Il supporto e la ferma convinzione di Francesco nella riuscita del mio intervento mi hanno alla fine fatto abbandonare ogni remora.

Mi trovo così ad illustrarvi uno dei tanti problemi concreti che ho dovuto affrontare nella realizzazione del simulatore, problemi che però hanno un loro sensibile impatto nel pricing di una struttura sintetica di opzioni, la cui esposizione mi auguro possa aiutare chi legge nel comprendere al meglio le “dinamiche” dei prezzi di questi affascinanti strumenti finanziari.

Per rendere il discorso più chiaro e concreto ho deciso di contestualizzarlo su un portafoglio virtuale di cui però sono stati rilevati i prezzi effettivi sul mercato.

Il portafoglio esemplificativo, realizzato virtualmente la mattina del 9 settembre 2010 sulla scadenza del 18 marzo 2011, è così costituito:

  • +1 call 20.000 (prezzo 1.909)
  • +1 put 20.500 (prezzo 1.527)
  • -2 call 23.500 (prezzo 386)
  • -2 put 15.000 (prezzo 273)

In sostanza, la struttura realizzata è un GUT che ingabbia 500 punti (+call 20000, +put 20500) finanziato da quattro vendite allo scoperto OTM (-2 call 23.500, -2 put 15.000) e il cui Pay Off complessivo a scadenza (per semplicità ho posto nulle le spese di commissione) è riportato in rosso nel grafico che segue, mentre in blu e in ocra sono presentati rispettivamente i pay off relativi al ramo Put e Call:

Al momento di realizzo della struttura il sottostante spot vale 20.683 punti e il tempo a scadenza è di 190 giorni gregoriani (dunque poco più di 6 mesi).

Tengo comunque a precisare che NON è scopo di questo intervento concentrarsi sulla tipologia di struttura sintetica realizzata, se essa a scadenza porterà o meno un guadagno o se è la più opportuna alle condizioni e previsioni di mercato nel momento di realizzo.

In questo contributo il portafoglio è puramente strumentale al fine di contestualizzare il reale fulcro dell’intervento, ossia l’impatto sui prezzi dello smile della volatilità implicita.

Verificheremo che il fatto di non considerare la struttura di volatilità sottostante un portafoglio sintetico introduce un elevato errore nella determinazione del guadagno/perdita spot dello stesso rispetto a prezzi desunti dal mercato.

Pochi giorni dopo, per l’esattezza la mattina del 14 settembre 2010, osserviamo sul mercato i prezzi spot delle Opzioni che abbiamo in portafoglio rilevando tale situazione:

  • call 20.000: prezzo 2.005
  • put 20.500: prezzo 1.368
  • call 23.500: prezzo 404
  • put 15.000: prezzo 235

Nell’istante di rilevamento dei prezzi il sottostante spot vale 20.947 punti (dunque +1,28% rispetto al valore del 9 settembre), i giorni gregoriani a scadenza sono 185 e, ai prezzi appena riportati, se decidessimo di liquidare tutto il portafoglio, otterremmo una perdita di -57,5 €.

Ribadisco comunque che non è questo ciò che ci interessa in questo frangente: la domanda è invece  in base a quale valore di volatilità implicita del mercato otteniamo tale ritorno.

Per avere la risposta dobbiamo però fare un passo indietro e tornare per un attimo al mio secondo intervento proposto su questo sito nel quale presentavo la simulazione di pricing realizzato al fine di comprendere come una struttura articolata di opzioni reagisce al variare di sottostante, volatilità implicita e tempo.

Se ricordate quanto scritto, il programma di simulazione, in estrema sintesi, funziona nel seguente modo:

  • viene creata una griglia costituita da tutte le possibili combinazioni di sottostante (all’interno del range di oscillazione 10.500-26.500 punti ritenuto opportuno visto il valore ATM dell’indice nel momento di realizzo della struttura), volatilità implicita e tempo a scadenza;
  • successivamente, attraverso la curva euribor dei tassi risk free (che si modifica giornalmente), viene associato per ogni giorno alla scadenza l’opportuno tasso a cui prezzare;
  • per ogni differente combinazione della griglia si è dunque ora in grado di effettuare il pricing delle diverse opzioni in portafoglio in base al modello di B&S;
  • in relazione alla tipologia di posizione assunta su ogni opzione (long o short) ed al prezzo di eseguito di tale posizione è ora possibile, desunto il prezzo teorico dal modello, calcolare quale sarà il valore del portafoglio da qui a scadenza in relazione alle condizioni esogene.

Tanto per far comprendere l’ordine di grandezza della griglia di cui parlo, che dunque rappresenta tutti i possibili scenari di sottostante/volatilità/tempo alla scadenza, essa è costituita da una “tabella” di quasi 15.000.000 di righe! Pazzesco!

Tutto ciò serve, quindi, per fornire una risposta a queste domande:

  • se l’indice aumentasse/diminuisse di +/-X% da qui a scadenza o da qui a 3 mesi (vista la scadenza a marzo) quale sarà il valore del mio portafoglio nel durante?
  • e se nel frattempo la volatilità implicita aumentasse/diminuisse cosa accadrebbe alla struttura?
  • quali sono tutte le possibili combinazioni di sottostante/volatilità/tempo a scadenza che forniranno un guadagno durante la vita residua della struttura?

Dal risultato della simulazione è possibile tuttavia ottenere anche un’altra informazione: il valore di volatilità implicita prezzata dal mercato per il portafoglio in essere al momento della rilevazione dei prezzi sopra riportati (14 settembre).

Nota.

In questo studio si osserva come la Volatilità Implicita possa essere di tipo deduttivo anziché induttivo. In parole più semplici: si parte dai datti di fatto, si estrapola la V.I. e la si applica alla struttura restante.

Fissati il valore del sottostante a 20.947 punti, il tempo residuo a 185 giorni gregoriani (a cui sarà associato il relativo valore di tasso risk free rilevato il 14 settembre riportato in tabella),

la grandezza che rimane “aleatoria” è appunto la volatilità implicita. Come determinarla? Semplicemente col procedimento inverso, ossia: si verifica quale sia <ex modello> il valore del pay off complessivo che più si avvicina ai -57,5 € che si ottiene ai prezzi effettivi di mercato e si osserva quale possa essere il valore di volatilità implicita che rende appunto minima la differenza di prezzo tra il modello e il mercato.

Ciò che si ottiene è visibile nel seguente grafico:

 

Il profilo relativo a “TtM (gg)” pari a 0 (dunque con valore temporale nullo) altro non è che il pay off a scadenza presentato in rosso nel primo grafico, in quanto appunto a scadenza (dunque a tempo residuo nullo), il pay off è ben specificato dai prezzi di realizzo della struttura.

Si osserva dunque dalla simulazione di portafoglio che il valore di volatilità implicita nel mercato che si ricava dal modello è 23,10% ed è appunto il valore che minimizza la differenza di prezzo tra il modello e il mercato.

Ma ora sorge spontanea la domanda: Qual è questa differenza?  

Cioè: questi -57,5€ che provengono dai prezzi di mercato quanti euro sono imputabili realmente al modello?

La risposta è –552,5€ !   Ebbene sì, vi è una differenza di 495 € tra quanto calcolato dal simulatore e quanto “affermato” dal mercato che, come dice spesso Francesco, come si sa, “abbia sempre ragione”!

Che dire su tale discrepanza? Beh...in modo un po’ gergale mi viene da dire che NON CI SIAMO affatto! Sinceramente non è tollerabile una differenza di 10 volte tanto il valore di mercato. E’ sì vero che il lavoro da me realizzato, come già specificato nel primo intervento proposto non ha lo scopo di fare trading con le Opzioni (cosa che richiederebbe un sistema di pricing efficiente al singolo punto indice) e dunque un fisiologico disallineamento col mercato ci sarà sempre e lo si deve accettare, però se il modello funziona deve comunque sussistere una certa coerenza fra ciò che è “predetto” e ciò che “dice” il mercato.

Domandiamoci quindi il perchè di una tale discrepanza: sicuramente sono da tenere in considerazione alcuni limiti del modello in sé e di alcune approssimazioni da me effettuate nell’implementazione del simulatore, ma principalmente tale differenza <come vedremo a breve> potrebbe essere motivata dal non aver considerato lo smile della volatilità implicita!

Poichè ogni opzione, a seconda che sia call o put e in relazione alla distanza fra sottostante e strike (ATM, ITM e OTM), viene prezzata ad un diverso valore di volatilità, è di per sé un errore cercare di ottenere un valore unico e, per così dire, “riassuntivo” della stessa in quanto ciò introduce parecchie distorsioni.

A questo punto, il naturale passo successivo, è quello di ottenere dal modello non un unico valore di volatilità, bensì ricavare da esso la corretta struttura di volatilità implicita sottostante, ossia un valore di vola per ogni opzione in portafoglio, e successivamente introdurre tale struttura all’interno del modello per far sì che lo smile sia recepito dal motore di pricing.

Per fare ciò ripetiamo l’esatto procedimento svolto in precedenza sul portafoglio nel suo complesso ma questa volta minimizzando, per ogni singola opzione della struttura, la differenza di prezzo (in punti indice) fra quanto rilevato dal mercato e quanto ottenuto dal modello e ricavare in tal modo, per ogni opzione, il relativo valore di volatilità implicita.

La struttura che si ottiene è riportata nella seguente tabella:

Si evince come, in seguito al calcolo della struttura di volatilità implicita (colonna Volatilità), la differenza con la perdita ai prezzi di mercato sia assolutamente in linea con quella da modello (-57,5€ contro -70€).

Abbiamo dunque verificato l’impatto macroscopico che lo smile della volatilità implicita comporta sul pricing della struttura sintetica nel suo complesso.

Cerchiamo ora di modificare il grafico relativo alla simulazione di portafoglio mostrato sopra introducendo in esso lo smile di volatilità.

Già: ma come farlo?

Semplice: mentre in precedenza si risaliva, come spiegato, al valore di volatilità implicita riassuntivo e, una volta fissato quel valore, venivano selezionate dalla griglia iniziale tutte le possibili combinazioni di sottostante/tempo successivamente riportate nel grafico, ora si selezionano dalla griglia tutte le possibili combinazioni di sottostante/tempo per le diverse opzioni in portafoglio ma con la volatilità implicita relativa ad ognuna di esse.

Cerco di chiarire meglio: in precedenza, l’unico valore di volatilità presente nella porzione di griglia iniziale selezionata era il 23,1%, dunque la simulazione è stata eseguita come se ogni opzione della struttura avesse esattamente una volatilità implicita del 23,1%, perciò costante per tutte.

Nel nuovo approccio, invece, verrà creata una sotto griglia in cui ogni opzione sarà presente in tutte le possibili combinazioni di sottostante/tempo a scadenza, ma solo con la relativa volatilità implicita desunta dai prezzi di mercato.

In tal modo non sarà più presente un unico valore di volatilità, ma si terrà conto dello smile desunto appunto dai prezzi.

Bene!  Vediamo ora come si modifica il grafico della simulazione di portafoglio data l’introduzione della struttura di volatilità sottostante.

Come in precedenza il profilo relativo a TtM (gg) pari a 0 altro non è che il pay off a scadenza presentato in rosso nel primo grafico.

Pur mantenendo una propria coerenza con l’andamento del grafico senza smile, è tuttavia evidente un significativo modificarsi del medesimo rispetto al precedente.

Notiamo subito ciò che può sembrare una anomalia, cioè la presenza di un valore univoco della volatilità implicita nel titolo del grafico.

“Ma come” ??? Penserete: ci hai appena detto che il grafico tiene in considerazione lo smile di volatilità e ora nel titolo ci dici che è disegnato al valore univoco di volatilità pari al 27,9%?

Ma vi voglio rassicurare subito dicendovi che così non è: il grafico incorpora effettivamente la struttura di vola implicita, 27,9%, è semplicemente il valore medio della struttura di volatilità presentata nella tabella sopra riportata. A voler essere corretti il grafico dovrebbe essere accompagnato proprio dalla tabella della struttura di volatilità, ma volendo per semplicità individuare un valore riassuntivo della stessa, ho ritenuto che la media potesse essere appropriata. Naturalmente si potrebbe aprire un dibattito per appurare se il valore “riassuntivo” più appropriato dello smile sia proprio la media, piuttosto della mediana o, perchè no, il valore della vola ATM o altro ancora.

Tuttavia, resterebbero ragionamenti puramente di forma, in quanto questo numero non ha alcuna reale “influenza” sul grafico presentato.

Per meglio apprezzare la differenza fra i due andamenti (senza smile e con smile), presento il grafico in cui essi sono sovrapposti:

Si apprezza meglio la sensibile differenza fra i due grafici (comunque coerenti nell’andamento generale) e si nota come l’andamento del pay off durante la vita residua con smile di volatilità cali nell’intervallo di sottostante nell’intorno della cuspide di massimo guadagno rispetto alla simulazione senza smile e viceversa risulti più elevata nella porzione di sottostante nell’intorno della seconda cuspide.

Cerchiamo di ragionare e verificare se la cosa ci sembra coerente e corretta: abbiamo già detto che nel grafico arancione tutte le opzioni hanno la medesima volatilità pari al 23,1%, dunque il prezzo da modello delle due put 15.000 shortate è calcolato con tale valore, mentre il reale valore della volatilità implicita desunta dalla struttura è di 37,5%. Questo vuol dire che nel grafico arancione il prezzo delle due put 15.000 è sistematicamente sottostimato, ossia più basso di quanto lo sarebbe in realtà (rammentiamo che le opzioni in generale si apprezzano all’aumentare della volatilità). Dal momento che le due put in oggetto sono state vendute allo scoperto e in tale posizione il guadagno è maggiore minore è il prezzo dell’opzione (il teorico prezzo di ricopertura della posizione), ecco spiegato il motivo della sovrastima del reale pay off nel grafico arancione nella porzione di sottostante a basso valore (al di sotto dei 17.500 punti).

Analogo discorso, ma speculare, è da farsi per le due call 23.500 shortate: per queste la reale volatilità implicita è del 20,2%, dunque più bassa del 23,1% relativa al grafico arancione, valore che risulta dunque più penalizzante per la struttura poichè implica una sistematica sovrastima dei prezzi delle due call.

Bene! Ci pare di capire che i risultati abbiano una loro coerenza e una loro motivazione, per cui possiamo effettivamente ritenere una miglioria del simulatore l’introduzione dello smile di volatilità implicita. Alcune precisazioni sono tuttavia doverose: tale approccio “supera” il problema di non tenere in considerazione la struttura di volatilità presente sul mercato, però è anch’esso inficiato da una approssimazione, ossia il tenere fisso lo smile!

Il prezzo delle opzioni nel simulatore è ora sì calcolato considerando per ognuna la corretta volatilità derivante dal mercato, ma successivamente la struttura desunta è tenuta fissa e applicata indistintamente a tutte le possibili combinazioni di sottostante/tempo a scadenza.

Cerco di spiegarmi meglio: le volatilità ricavate dal mercato sono volatilità imputate dai Market Maker per queste condizioni, ossia con l’indice al valore del 14 settembre e con 185 giorni gregoriani alla scadenza e in base al loro sentiment in quel momento. E’ naturale che se l’indice iniziasse a salire o a scendere con decisione, la struttura di volatilità appena calcolata non sarebbe più valida in quanto le condizioni di mercato si verrebbero a modificare e con esse il sentiment degli operatori.

Inoltre ciò che è ATM in base al valore dell’indice il 14 settembre, diventerebbe OTM/ITM in relazione alla direzione del sottostante e necessariamente si verrebbe a creare una differente struttura di volatilità.

Ora, è sconfortante dirlo, ma purtroppo questo limite non è superabile, nel senso che non è dato sapere l’andamento futuro della volatilità e con esso il modificarsi dello smile. Sicuramente una strada potrebbe essere quella di sviluppare dei modelli previsionali di volatilità (come fanno i Market Maker), ma un’elevata aleatorietà sarebbe in ogni caso sempre presente e con essa gli errori nel pricing.

A questo punto potrebbe sembrare del tutto superfluo e tautologico l’introduzione nel simulatore di pricing dello smile di volatilità nel modo appena presentato, tuttavia, ben conscio dei limiti e delle approssimazioni che introduce, reputo sia comunque utile, in quanto:

  • da un lato considera un effetto, quello appunto dello smile, presente sul mercato e che condiziona i prezzi in modo significativo;
  • dall’altro tale introduzione permette di simulare dei prezzi assolutamente in linea con quelli di mercato, cosa che abbiamo verificato non era possibile senza considerare la struttura di volatilità implicita.

Claudio Barberi

Per informazioni, commenti o curiosità, potete scrivere a cb@francescocaranti.net