Come certo ricorderete, recentemente abbiamo fissato la nostra attenzione sui concetti Geometrici delle superfici di Moebius: una semplice cintura di pelle maldestramente arrotolata ai pantaloni ci aveva offerto lo spunto per definire e discutere nuove geometrie che avevamo classificato come non orientabili.

Ciò significa che oltre alla Geometria tradizionale comunemente accettata, ne esistono altre meno intuitive ma caratterizzate da proprietà sconvolgenti.

Abbiamo scoperto che la regola che definisce ‘se una figura è o non è orientabile’ è semplicemente quella di immaginare di forarla e trapassarla con un punteruolo. Se con questa operazione si riesce ad arrivare definitivamente dalla parte opposta, allora ci troviamo in un contesto di classe orientabile.

Ecco come la Geometria - e in generale tutte le scienze esatte - si muovono all’interno di precise regole di comportamento per cercare di soddisfare la ripetizione dell’evento stesso.

Le dimostrazioni matematiche non sempre però risultano rapide e a portata di mano, tanto che per alcune la complessità è stata tale da mettere a dura prova le menti più creative e i computer più sofisticati.

Infatti, gli appunti di oggi riguardano un problema apparentemente semplice ma di particolare rilevanza nell’ambito delle soluzioni di mappatura dei navigatori satellitari, un vero rompicapo che ha afflitto gli studiosi per più di cento anni.

Ci riferiamo al Teorema dei quattro colori necessario a risolvere la colorazione di una cartina geografica.

 

Ecco il problema: se prendiamo una qualsiasi Carta Geografica Politica e qualche pennarello colorato, allora ci possiamo chiedere:

L’esempio della cartina dell’Europa politica che vedete chiarisce i termini del problema: bastano il verde, il giallo, il blu e il rosa per distinguere TUTTI i singoli Stati.

La storia di questa congettura venne presentata per la prima volta a metà dell’ottocento, quando uno studente del grande matematico De Morgan, si accorse che per colorare una mappa delle contee britanniche erano sufficienti quattro colori.

 

Per meglio chiarire l’enunciato del problema dei 4 colori, occorre prestare attenzione al concetto di “adiacenza”: due Stati sono adiacenti tutte le volte che la delimitazione dei loro confini ha in comune almeno un segmento piuttosto che non singoli punti isolati. Se così non fosse, una semplice Torta a Fette sarebbe un contro-esempio schiacciante.

 

Ciascuna regione deve inoltre occupare un territorio connesso, cioè non deve essere formata da due o più parti sconnesse.

Come possiamo vedere dall’immagine, il territorio C (dello stesso colore di B) giace all’interno dello Stato A anche se in realtà appartiene allo Stato Sovrano B.

In questo caso diciamo che C è sconnesso (ecco l’eccezione del teorema!).

Un esempio nostrano di ‘sconnessione’ è il territorio di Campione d'Italia interamente circondato dalla Svizzera, oppure l’Alaska che appartiene agli Stati Uniti ma è separata dal Canada o anche Kaliningrad, separata dalla Russia dalle Repubbliche baltiche.

 

Tornando al nostro problema, se vorrete divertirvi a controllare i confini di tutte le mappe del mondo, vi renderete conto che esistono situazioni semplici in cui bastano 3 soli colori per identificarle ma molto più difficile resta il caso di certi Confini Complessi in cui – nel passato – si pensava che il numero dei Colori necessari dovesse salire a 5.

Il Teorema dei 5 Colori ha richiesto dimostrazioni non particolarmente difficili: molto peggio è andata per la discesa al livello inferiore, quello cioè per cui ne bastavano 4 soltanto.

Come dicevamo, la prima congettura riguardante la questione risale alla metà dell’800, quando Francis Guthrie si accorse per la prima volta che per colorare qualsiasi Contea Britannica erano sufficienti 4 colori.

La dimostrazione però tardò molto ad arrivare dopo una serie di insuccessi da parte di Kempe e Petersen, al punto da ritenerla matematicamente impossibile.

La soluzione si ebbe definitivamente nel 1977: singolare non tanto dal punto di vista della difficoltà ma piuttosto per quello della soluzione adottata.

 

La dimostrazione definitiva è stata fornita dall’Università dell’Illinois grazie a un calcolo che si basa sulla riduzione del numero di tutte le possibili e infinite Mappe cartografiche a un numero finito di 1476 configurazioni precise.

Per la prima volta la validità del teorema è stata verificata passo-passo dal computer ma poiché le dimostrazioni matematiche classiche ammettono soltanto soluzioni logiche (e non sperimentali) la soluzione dell’Università dell’Illinois scatenò una certa polemica in termini di procedura e di affidabilità.

Fu così subito contestata la capacità dell’algoritmo utilizzato poiché ancora non esiste un criterio valido in assoluto per dimostrarne la correttezza totale.

La soluzione – per quanto valida - è rimasta per la prima volta affidata alle potenzialità del ‘calcolo di forza bruta’ e tutto ciò, a distanza di anni, porta ancora a riflettere.

 

Gli appunti di oggi in merito al problema della mappatura cartografica, evidenziano l’importanza degli Strumenti di Calcolo nei processi di Analisi.

La dimostrazione del Teorema dei 4 Colori tramite il computer è il primo esempio delle nuove strade che molto presto ci troveremo a percorrere.

Una volta superati i limiti imposti dal Pensiero Matematico Classico, negli anni che verranno  l’alleanza tra la Matematica e l’Informatica si troverà necessariamente a convergere in un punto di svolta cruciale.

Vi lascio con un pennarello colorato tra le mani per disegnare i confini della vostra immaginazione e dalla vostra fantasia!