Techetechetè -- La Musica e il Teorema di Gödel

rubrica: 

 

 

 

 

... le Teorie Ricorsive di Gödel ammettono l’esistenza di Strutture secondo le quali l’inizio può corrispondere alla fine...

 
Da sempre il tema dell’armonia, della continuità e della perfezione ha sollecitato la ricerca e l’approfondimento nel campo artistico e in quello scientifico.
Per questo non c’è da stupirsi dell’esistenza di un lungo e sottile filo conduttore che nei secoli ha fatto da ponte tra i matematici e i musicisti.
Oggi vedremo una relazione, un nesso, tra celebrità apparentemente prive di collegamento logico come Pitagora, Debussy, Gödel e - strano a dirsi – anche i Genesis e i Deep Purple.
 
Vediamo come …
Il primo rapporto tra la musica e la matematica si instaura nell’antichità, quando cioè alla Scuola Pitagorica viene individuata una relazione precisa tra i toni della scala musicale e i quozienti dei numeri interi.
 

Semplice: se prendiamo una corda che produce un determinato suono e desideriamo ottenere il suono dell’ottava superiore, è sufficiente interrompere la corda nell’esatto punto di mezzo.

In altre parole, indicando con A la lunghezza della corda che produce il primo suono e con B quella del secondo, il rapporto tra le due è esattamente A: B = 2 :1.
Volendo salire di una quinta, basterà interrompere la corda a due terzi.
Con un esempio: se C è la lunghezza della sezione che produce questo nuovo suono, abbiamo A:C = 3:2.
Non solo … i suoni prodotti dalle corde C e B formano un intervallo di quarta nel rapporto C:B = 4:3.
In definitiva, le tre consonanze principali (ottava, quinta e quarta) corrispondono perfettamente ai rapporti 2:1 3:2 e 4:3 e possono così essere rappresentate impiegando i primi numeri naturali: 1, 2, 3, 4.
 
Il Sistema Musicale codificato in Grecia 500 anni prima di Cristo è chiamato Temperamento Pitagorico ma pur rappresentando una grandissima innovazione, nel tempo cominciò a mostrare alcuni difetti applicativi.
Infatti, poiché l’orecchio umano non percepisce i suoni in modo meccanico (oggi diremmo: digitale) ma solo attraverso le armoniche naturali, ai livelli della frequenza più bassa la divisione dell’Ottava in parti proporzionali non risulta una soluzione soddisfacente.
Il problema da risolvere divenne dunque quello dei Rapporti tra le note.
 
Ci vollero parecchi secoli per arrivare a una revisione sostanziale all’approccio pitagorico e fu solo la genialità di Johann Sebastian Bach (1685 - 1750) a dare una svolta definitiva alla concezione iniziale tramite una modifica matematica del primo Sistema Temperato verso un nuovo Sistema Temperato Equabile, una variante in grado di stabilire rapporti di frequenza più esatti.
 
Con l’introduzione del Sistema Temperato Equabile, Bach diede risposta al problema dell’accordo di un qualsiasi Strumento a corda – come il pianoforte o il clavicembalo  – per tutte le possibili tonalità.
In realtà l’innovazione di Bach fu quella di aver calcolato l’esatto rapporto di divisione dell’Ottava. Egli aveva intuito l’equazione fondamentale del Suono: se dividiamo una Ottava in Dodici Semitoni, allora ciascuno di essi si rapporta al precedente e al successivo in ragione della radice dodicesima del numero 2.
 
Per risolvere la difficoltà di calcolo della Radice Complessa, già nel ‘500, Vincenzo Galilei (padre di Galileo) aveva fatto ricorso alla cosiddetta Regola del Diciotto.
Senza scomodare il calcolo infinitesimale (oggi diremmo: le Macro di Excel) si può facilmente  verificare che il rapporto tra i numeri 17 e 18 (0,94444...) porta con buona approssimazione alla soluzione della radice dodicesima di Bach.
 
Anche a distanza di centinai di anni, la regola di Galilei si presta bene per ricavare la posizione dei tasti di un qualsiasi strumento musicale. In questo modo – per esempio - la frequenza di ogni nota corrispondente al tasto di un pianoforte è uguale alla frequenza della nota del precedente moltiplicata per 0,94444 (cioè per la radice dodicesima di due).
La variante del sistema Equabile di Bach ha permesso di passare da una tonalità a un’altra senza modificare l’accordatura: in pratica Bach aveva intuito e razionalizzato per la prima volta la logica della modulazione musicale.
 
Le innovazione proposte da Bach incuriosirono artisti e matematici che si trovarono quasi costretti a verificare le ipotesi provenienti da queste intuizioni parallele.
Sul fronte artistico, sarà l’olandese Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) a rappresentare strane e complesse ‘costruzioni logico-matematiche’ tramite incisioni lignee, litografie e mezzetinte. Il lavoro di Escher si riferisce alle cosiddette ‘costruzioni impossibili’ di particolari esplorazioni dell'infinito e di geometrie interconnesse che pian piano si convertono in forme simmetriche.
Sul fronte scientifico – invece - si deve al matematico cecoslovacco Kurt Gödel (1906 - 1978) l’approfondimento delle Teorie Ricorsive circa l’esistenza di particolari Strutture Logiche per cui “l’inizio corrisponde alla fine”.
Il teorema di Gödel riprende così le ipotesi di August Ferdinand Möbius (1790 – 1868) sulle geometrie percorribili all’infinito di cui abbiamo già discusso su questo Portale.
Gödel, assieme ad Aristotele e Frege - Friedrich Ludwig Frege (1848 – 1925) matematico e filosofo tedesco, padre della matematica moderna, della filosofia analitica e del pensiero formale del Novecento - è considerato uno dei più grandi Logici della Storia in considerazione dei suoi altissimi studi sulla Incompletezza delle teorie matematiche.
 
Ma vediamo realmente di cosa parla il suo teorema.
 
Partiamo da una definizione un po’ semplificata, ma sostanzialmente corretta: "Per ogni Sistema di regole matematiche, è possibile trovare alcune Proposizioni incerte (cosiddette: indecidibili) tramite l’utilizzo delle regole del Sistema stesso".
 
E già questa appare una pessima conclusione ... un risultato scientifico molto negativo sulle regole della matematica che, come tutti pensiamo di credere, dovrebbe rappresentare perfettamente una scienza esatta (o comunque NON essere un’opinione).
Già ... purtroppo ciò significa che le nostre pretese di razionalizzare la conoscenza attraverso regole perfette, certe e sicure, possono anche vacillare e crollare per sempre.
 
Anche Heisenberg - Werner Karl Heisenberg (1901 – 1976) fisico tedesco e Premio Nobel nel 1932, fondatore della meccanica quantistica - aveva concluso i propri studi con questa proposizione: "Non possiamo mai conoscere contemporaneamente e con precisione la posizione e la quantità di moto di una particella subatomica"
E Gödel, più o meno, aveva affermato che: "Per ogni Sistema formale di regole è possibile arrivare a proposizioni indecidibili, usando gli assiomi dello stesso sistema formale"
Quindi, tutte le volte che, per indicare una certezza, utilizziamo frasi del tipo: “... è vero come 2 + 2 fa 4 ...” in realtà stiamo commettendo un errore.
 
La matematica (contrariamente a quanto normalmente si può pensare) è ‘un’opinione’ anzi, forse è la più grande delle opinioni ... è solo un Sistema ingegnoso in cui ciascuna opinione sorregge tutte le altre.
 
Tanto per divertirci un po’, sulla stessa onda, possiamo anche far crollare d’incanto un’altra costruzione umana fondamentale, per esempio quella del Linguaggio.
E possiamo fare una prova partendo da un semplice enunciato elementare.
Se diciamo, per esempio che: “Questa frase è falsa”, allora avremo subito due possibili soluzioni in antitesi:
a)     Se tutta la frase è vera, allora è vero che la frase sia falsa, e quindi non può essere vera
b)     Se tutta la frase è falsa, allora è falso che la frase sia falsa, quindi deve essere vera.
Come vedete, lavorando un po’ sui termini dell’espressione, siamo arrivati a una contraddizione totale, dato che i verbi ‘non può’ (del caso a) e ‘deve’ (del caso b) sono in netta contraddizione.
La frase di questo esempio in realtà rappresenta la negazione di se stessa e, come tale, diventa indecidibile.
Ma si può facilmente concludere che le soluzioni di questo problema linguistico da 2 salgono addirittura a 4.
Queste:
  • falsa
  • vera
  • non falsa
  • non vera
 
Siamo entrati in un bel pasticcio! Pare che anche il nostro linguaggio sia imperfetto e che non abbia la capacità sufficiente di descrivere situazioni tutto sommato abbastanza semplici. 
 
E allora ci chiediamo cosa mai potrà succedere, per esempio, nello Spazio.
Esistono situazioni simili in cui, come nell’esempio di questa strana frase, le cose possano essere contemporaneamente vere e non vere? E se davvero esistessero, in che misura noi saremmo realmente in grado di descriverle?
Le dimostrazioni di Gödel hanno affermato che nonostante i nostri sforzi, qualsiasi Sistema potrebbe portare a Teoremi Indecidibili e proprio per questo l’umanità dovrà necessariamente rinunciare all’utilizzo di modelli matematici anche se ritenuti teoricamente perfetti.
Per quanto i lavori di Gödel abbiano disilluso parecchie aspettative, tutto ciò è servito a frenare e a limitare facili entusiasmi. Le scoperte di Gödel hanno infatti arginato e calmierato un mondo scientifico in crescente ebollizione e da allora ogni Ricercatore si muove con estrema attenzione e circospezione in merito agli studi sugli sulla Realtà, in quanto la Realtà stessa potrebbe essere un semplice Modello di rappresentazione relativa piuttosto che non una Realtà completa e definitiva.
Tutti le analisi dei modelli si sono così trasformate da ‘assolute’ a ‘localizzate’ in modo da limitare qualsiasi errore di interpretazione.
Alla luce dei limiti dimostrati da Gödel, recentemente è stato introdotta una specie di regola che permette di valutare l’attendibilità delle ricerche. In pratica, per verificare l’esatta corrispondenza tra un Modello di laboratorio e la Realtà assoluta, è necessario passare attraverso un Test Probante.
Volendo fare un esempio molto semplice, supponiamo di aver costruito un computer in grado di lavorare a temperature estreme, per esempio da -50 a + 50 gradi.
Ora ci chiediamo se il nostro computer è in grado di superare il concetto di ‘Realtà assoluta’.
Nel costruire il nostro computer abbiamo creato un modello di cui stiamo cercando le caratteristiche assolute in termini di adattabilità al mondo Reale. Ciò che stiamo realmente cercando è l’ISOMORFO del Computer, cioè la regola di stabilità della nostra invenzione di laboratorio nei confronti del mondo Assoluto.
 
Le proprietà dell’Isomorfismo (dal greco: isos = uguale e morphé = forma) risalgono a un’idea precedente agli studi Gödel, quella di Eilhard Mitscherlich (1814-1863) che per primo pensò alle applicazione di oggetti matematici dotati di strutture simili.
Unendo i concetti di Gödel e di Mitscherlich, si arriva alla ricerca di un Trigger (cioè di un livello di confine) di Isomorfismi tra il modello prodotto (il Computer del nostro esempio) e la realtà globale di riferimento (cioè l’applicazione del nostro Computer di laboratorio in qualsiasi Spazio assoluto).
In definitiva, la teoria dell’isomorfismo, riesce a dare una spiegazione ai fenomeni reali, al di là di qualsiasi percezione soggettiva.
E così, ogni volta che guarderemo il mare, non avremo l’esperienza esatta del mare vero e proprio, ma saremo comunque nelle condizioni di analizzare i dati precisi della percezione di quel ‘tipo’ di mare, dati codificati nel Dna della nostra mente, in armonia con una serie di regole generali ma anche particolari, in quanto soggettive da persona a persona.
Il lavoro fondamentale di Gödel fu proprio quello di esprimere i limiti dei Modelli nei confronti della Realtà e per quanto il suo lavoro resterà nella storia per sempre, il suo destino gli fu avverso: Gödel morirà di fame a Princeton nel 1978 per una crisi di tossifobia, poiché alcuni disordini mentali gli avevano impedito di nutrirsi data la sua paura di rimanere avvelenato …
Niente viene perso però dell’estro dei grandi pensatori e gli eredi non mancano mai all’appello anche in altre branche artistiche fondamentali.
 
Anche la musica dei Genesis (rock progressivo della fine degli anni ’60) si è sviluppata attorno al concetto della ricorsività e l’architettura matematica dei loro brani è una prova lampante in Firth of Fifth, una sequenza di note improntate interamente sulla logica dei Numeri Aurei.
E anche i Deep Purple hanno elogiato il ritmo matematico nel loro brano Child in Time, ma forse solo per imitare l’energia di Debussy che aveva voluto esprimere la sua numericità nella raccolta di Estampes e più avanti nella composizione di La Mer e Cathédrale Engloutie.
 
... matematica, musica e limitazioni della matematica isomorfa ...
I temi di Gödel e di Heisemberg continuano a stupirci, quasi come un denominatore comune continui a legarli infinitamente oltre ogni dimensione conosciuta.
Il nostro viaggio continuerà oltre i confini reali, pur tenendo presenti le logiche primitive dei Sistemi Semplici della nostra comune osservazione.
 
Vi aspetto su questo Portale per altri viaggi in altre dimensioni.
 
Francesco Caranti