... nel 1654 Pascal, frequentando i salotti di Corte, aveva incontrato un austero Giansenista: il Cavalier De Méré...

Alla corte del Re Sole, agli albori dell’Illuminismo, tra gli sfarzi dell’Impero e le feste di corte, i nobili, i ricchi e gli avventurieri sfidavano la sorte e bandivano la noia giocando a tutto ciò che era possibile giocare, per quanto i Dadi fossero i loro preferiti.

Nel 1654 Pascal, frequentando i salotti aristocratici e letterari di corte, aveva conosciuto un austero Giansenista, grande dispensatore di consigli sull’eleganza e le buone maniere: era il Cavalier De Méré. Oltre ad eccellere nella cultura, il nobile era anche un abilissimo giocatore ed era solito battere sistematicamente qualunque avventore sprovveduto.Il suo merito non fu tanto quello di essersi arricchito alle spalle degli altri, bensì di aver sottoposto le proprie curiosità all’amico Blaise Pascal.

Il grande Matematico accolse la richiesta di De Méré come sfida personale e risolse il problema inanellando così il secondo successo matematico dopo l’enigma di Pacioli.

Proponiamo il gioco di De Méré articolato in due diverse scommesse:

Prima Scommessa di De Méré (Scommessa Favorevole).

Due giocatori:          D = De Méré

S = Sprovveduto

e                           una Giuria (G) che controlla.

D lancia un dado per 4 volte di seguito senza fermarsi.

G annota quante volte esce il 6 nei 4 lanci consecutivi.

Scommessa: se uscirà almeno una volta il 6 entro il 4° lancio, la posta andrà a D, in caso contrario ad S.

Potrete divertirvi anche voi a sfidare il primo sprovveduto “S” che vi capita di incontrare: vedrete che dopo 100 o 200 partite egli maledirà il giorno che vi ha incontrato.

Sulle prime questo gioco non sembra favorevole a De Méré ma, guardando meglio, risulta invece una scommessa vantaggiosa.

Da notare che la scelta della faccia del dado col numero 6 è assolutamente arbitraria: si può stabilire di puntare su un numero qualsiasi, naturalmente sempre lo stesso.

Primo commento: questo gioco è veramente noioso e impegna moltissimo tempo: erano forse questi i veri divertimenti della Francia illuminista?

Secondo commento: il Cavaliere utilizzava una probabilità a favore senza riuscire a quantificarla.

Ma vediamo ora la variante al primo gioco conosciuta come la:

Seconda Scommessa di De Méré (Scommessa Sfavorevole).

I giocatori sono sempre gli stessi:

D=De Méré

S=Sprovveduto

e  anche la Giuria (G) non è cambiata.

 

I dadi ora però sono 2.

D lancia i due dadi per 24 volte di seguito, senza fermarsi.

G annota quante volte esce una coppia di 6 in questi 24 lanci ripetuti.

Scommessa: se uscirà almeno una volta il doppio 6 entro il 24° lancio, la posta andrà a D, in caso contrario a S.

Riepiloghiamo le due scommesse:

Dopo innumerevoli prove, De Méré si accorge della differenza tra la prima e la seconda scommessa … come dicevamo: la prima FAVOREVOLE, la seconda SFAVOREVOLE.

Il cavaliere riscontra la differenza dei risultati ma non se ne dà ragione, per questo interpella Pascal.

Il matematico risolve il problema e trova i valori di probabilità dei due giochi:

per la 1^ scommessa:       p = 0,517746914

per la 2^:                         p = 0,491403876.

Espresso in altri termini: nel primo gioco le probabilità sono superiori al 50% e pertanto, ripetendo più volte, il numero delle vincite supererà quello delle sconfitte.

Nel secondo gioco la probabilità si inverte e scende sotto il 50% (0,4914…): ciò significa che, nel tempo, la sconfitta risulta inevitabile.

In realtà il Cavalier di Méré aveva in mente un suo proprio ragionamento (errato !!!) che dava ai due giochi la stessa probabilità.

Più o meno questo: "L'uscita di un 6 lanciando quattro dadi dovrebbe avere la stessa probabilità di avere almeno una coppia di 6 lanciando per 24 volte una coppia di dadi. Perché allora il primo evento sembra verificarsi con maggiore frequenza del secondo?"

Il Cavaliere aveva ragionato in questi termini: la probabilità di fare 6 con un solo dado è 1/6. Con quattro dadi avrò 4 ∙ (1/6) = 2/3. Una coppia di 6 nel lancio di due dadi ha invece probabilità 1/36. Ripetendo per 24 volte il lancio di due dadi avrò 24 ∙ (1/36) = 2/3. Quindi la probabilità dei due eventi è la stessa.

Il Cavaliere aveva commesso un errore: quello di sommare 4 volte o 24 volte la probabilità di un singolo evento, come se si trattasse di eventi incompatibili.

Viceversa, l'uscita di un sei o di una coppia di 6 in un lancio non è incompatibile con le successive uscite del 6 o della coppia di 6 nei successivi lanci.

Per risolvere il problema, Pascal ricorre a un piccolo trucco: poiché l’evento "Esce almeno una volta" è l'opposto di "Non esce neppure una volta", se riesco a trovare la probabilità di quest'ultimo, basterà calcolare il “complemento” <sottrarlo cioè dal numero 1> per ottenere il risultato. ... in pratica egli FA UN RAGIONAMENTO AL CONTRARIO.

Per il primo gioco, la non uscita del 6 in un lancio ha probabilità 5/6.

La non uscita per 4 lanci consecutivi, sarà (5/6)⁴ = 625/1296 = 0,482253 …

La probabilità dell'evento opposto "Esce almeno una volta un sei" è pertanto (1-0,482253) = 0,517746.

Per il secondo gioco, la non uscita di una coppia di 6 nel lancio di due dadi ha probabilità 35/36. La non uscita per 24 volte di fila ha probabilità (35/36)²⁴ = (0,97222...) ²⁴ » 0,52. La probabilità dell'evento opposto "Esce almeno una volta una coppia di sei" ha perciò probabilità circa (1-0,52) = 0,491403.

Vediamo la tabella con la soluzione.

 

Nota 1: Un ringraziamento particolare va ad Excel per aver calcolato in una frazione di secondo la potenza di 35 alla 24^  e di 36 alla 24^: non certo il tempo che deve aver impiegato Pascal per poter arrivare allo stesso risultato.

Nota 2: Attenzione ai grossi calcoli in Excel: la moltiplicazione è corretta per risultati fino a 24 cifre (999.999 miliardi di miliardi) ... oltre questa soglia il calcolo è approssimato. Provare per credere ! 

Il problema del Cavalier de Méré e il ragionamento di Pascal confermano anche a noi Investitori degli anni duemila l’importanza degli elementi Rischio e Probabilità nella pianificazione degli Asset Finanziari.

A maggior ragione la matematica entra prepotentemente nelle strategie dei Mercati a Termine: i prodotti Derivati come i Futures, le Opzioni e le Strategie Sintetiche dovranno essere gestiti con gli appropriati strumenti di controllo del Rischio.

Ma lo vedremo presto. Arrivederci alla prossima puntata.

Francesco Caranti